Своим родителям
Глаголеву Владимиру Михайловичу и Глаголевой Нине Гавриловне,
а также своей первой учительнице Трусовой Генриетте Николаевне
с благодарностью посвящает этот труд один из авторов
Современное естествознание характеризуется глубоким проникновением математических методов в различные области биологии. Изучение свойств математических моделей позволяет сделать важные заключения об особенностях функционирования исходной биологической системы. Ведущую роль в регулировании процессов, которые протекают в биологических системах с определенной скоростью и в определенной последовательности, играет кинетика. Проблема кинетического поведения сложной системы сводится к построению и анализу математической модели, в которой скорости изменения концентрации различных составных компонентов были бы выражены через скорости отдельных элементарных процессов, принимающих участие в их образовании и исчезновении [Рубин и др., 1987, с. 3–4]. К настоящему времени на русском языке издано множество книг, посвященных математическому моделированию в биологии вообще и в экологии в частности. Перечислим лишь некоторые из тех, что появились уже в текущем веке: [Смагин и др., 2001; Мюррей, 2009; Братусь и др., 2010; Ризниченко, 2011]. Почему же мы посчитали необходимым добавить к этому множеству книг еще одну – наше учебное пособие?
Перед каждым автором новой монографии или курса лекций всегда стоит проблема обоснования необходимости написания именно данной книги с данным содержанием. Как правило, обоснование строится на том, что новая книга освещает предмет либо под новым углом зрения, либо подбор материала не является общепринятым, либо упор делается на простоту или на строгость изложения [Чавро и Дымников, 2000: с. 6–7]. В этом смысле мы не оригинальны. Тот новый угол зрения, под которым освещается нами предмет математической биологии – это численное решение уравнений биокинетики, крайне редко затрагиваемое в подобных курсах, а если и затрагиваемое, то лишь вскользь, как некоторый вспомогательный инструмент.
Можно заверить читателя, что не все задачи имеют явное решение. Невозможно найти формулу, например, для решения уравнения dy/dt = t3 + y2. Таким образом, в науке и технике необходимо иметь методы получения приближенного решения [Мэтьюз и Финк, 2001, с. 468–469]. Причем это особенно актуально для современных математических моделей биологии. Если даже такое простое уравнение, как только что приведенное выше, не имеет аналитического решения, то что можно ожидать от них!? В силу своей сложности указанные модели, разумеется, никак иначе не могут быть эффективно исследованы, кроме как численными методами 1. Поэтому, на наш взгляд, давно пора во главу угла ставить именно эти методы (и то, что пока это не было сделано – весьма удивительно). Кроме того, Дж.М. Смит [1980, с. 12], опираясь на свой опыт, отмечал, что наибольшее число проблем возникает при переходе от этапа подготовки математической модели к этапу написания программы. Но этот переход как раз и осуществляется при помощи численных методов. Таким образом, получается, что наибольшее число проблем в математическом моделировании связано именно с грамотным применением численных методов. То, что это вызывает наибольшее число проблем конкретно у студентов, может засвидетельствовать и один из авторов 2 настоящего учебного пособия.
В заключение этого краткого Предисловия подчеркнем, что в данном учебном пособии мы пытались решить только одну эту проблему – облегчить студентам (и вообще всем интересующимся математической биологией) применение численных методов решения биокинетических уравнений. Таким образом, пособие не учит построению математических моделей – модели в рамках настоящего пособия чаще всего принимаются как некая данность (и черпаются нами из обширной литературы по математическому моделированию в биологии и экологии). Однако сказанное не означает, что мы собираемся мучить студентов-биологов интереснейшими математическими тонкостями, в которых «сам черт голову сломит». Нет! Подход наш состоит в следующем: мы стараемся лишь кратко обрисовать некоторые математические идеи, после чего переходим к вычислительной технологии – к использованию (для решения биокинетической задачи) того или иного метода в рамках весьма простой и удобной системы MATLAB.
1 Численные методы восходят к XVII столетию – к Ньютону, который предложил использовать их для расчета траекторий комет. В 1748 г. французские ученые предсказали возврат кометы Галлея ценой 6 месяцев расчетов вручную «с утра до вечера и даже подчас во время еды» [Каханер и др., 1998, с. 329].
2 М.В. Глаголев несколько лет читает курс лекций «Математическое моделирование биологических процессов» в Югорском государственном университете (г. Ханты-Мансийск) и ведет семинарские занятия по курсу «Общая экология» (лектор – проф. А.В. Смагин) на факультете почвоведения МГУ им. М.В. Ломоносова. Если насыщенность первого курса математическими моделями очевидна из его названия, то относительно второго можно сказать, что сейчас и в нем модели используются довольно часто.