Робастное управление динамическими объектами

2.1. Обозначения

2.2. Векторы и матрицы

2.3. Сигналы

2.4. Линейные системы

***

2.1. Обозначения

Поле вещественных (комплексных) чисел обозначается как $\mathrm{ℝ}\left(\mathrm{ℂ}\right)$.

Действительное (комплексное) Евклидово пространство размерностью n имеет обозначение ${\mathrm{ℝ}}^n\left({\mathrm{ℂ}}^n\right)$, а пространство действительных (комплексных) матриц – ${\mathrm{ℝ}}^{n\times m}\left({\mathrm{ℂ}}^{n\times m}\right)$.

Действительная часть, мнимая часть, модуль и комплексно-сопряженное комплексного числа $z\in \mathrm{ℂ}$ соответственно обозначаются как $\mathrm{Re}\left(z\right), \mathrm{Im}\left(z\right), \left|z\right|, \overline{z}$.

Открытая правая (левая) полуплоскость комплексной плоскости имеет обозначение ${\mathrm{ℂ}}_{+}=\left\{z\in \mathrm{ℂ}:\mathrm{Re}\left(z\right)>0\right\}$ (${\mathrm{ℂ}}_{-}=\left\{z\in \mathrm{ℂ}:\mathrm{Re}\left(z\right)<0\right\}$).

Для замкнутых полуплоскостей используются обозначения ${\overline{\mathrm{ℂ}}}_{+}$ ${\overline{\mathrm{ℂ}}}_{-}$.

Действительная переменная t обозначает время, а комплексная переменная в области преобразования Лапласа обозначается как s = α + jω, где ω является круговой частотой (в радианах в единицу времени).

A′ обозначает комплексно-сопряженное транспонирование (эрмитово сопряжение) комплексной матрицы A, det(A) является детерминантом матрицы A, adj(A) – присоединенная матрица, состоящая из алгебраических дополнений матрицы А и транспонированная.

Обозначение diag(A1, A2, ... , Ak) используется для блок-диагональных матриц и I=diag(1, 1, … , 1) есть единичная матрица.

Под спектром матрицы $A\in {\mathrm{ℂ}}^{n\times n}$ понимается множество Λ(A)={λi(A) ∈ C, i=1,2,…,n}, в котором λi(A) является i-м собственным значением.

2.2. Векторы и матрицы

Теорема [1, 6]. Любую матрицу $A\in {\mathrm{ℂ}}^{n\times n}$ можно представить в виде сингулярного разложения

$A=U \left[\begin{array}{cc}\mathrm{\Sigma }& 0\\ 0& 0\end{array}\right] V \text{'},$

где $\mathrm{\Sigma }=diag({\mathrm{\sigma }}_1, {\mathrm{\sigma }}_2, ..., {\mathrm{\sigma }}_r)$, $\overline{\mathrm{\sigma }}={\mathrm{\sigma }}_1\ge {\mathrm{\sigma }}_2\ge \dots \ge {\mathrm{\sigma }}_r=\underline{\mathrm{\sigma }}>0$, $r\le \min \left\{n,m\right\}$, ${\sigma }_{i }\left(A\right)={\left[{\lambda }_i(AA\text{'})\right]}^{1/2}$, матрицы U, V являются унитарными, т. е. $UU\text{'}=I$ и $VV\text{'}=I$.

Векторные пространства ${\mathrm{ℝ}}^n$ и ${\mathrm{ℂ}}^n$ являются конечномерными Гильбертовыми пространствами [25] с внутренним (скалярным) произведением $<x,y>=x\text{'}y$, и тогда индуцированная норма (Евклидова норма) вектора $x\in {\mathrm{ℂ}}^n$ определяется как ${||x||}_2 =<x\text{'}x{>}^{1/2}$.

Евклидова норма матрицы $A\in {\mathrm{ℂ}}^{n\times m}$ определяется в виде ${||A||}_2=\underset{{||x||}_2=1}{\max }{||Ax||}_2$, при этом ${||A||}_2=\overline{\sigma }\left(A\right)$ [1] .

2.3. Сигналы

Во временной области сигнал f(t) задается как измеримая функция [25], отображающая $\mathrm{ℝ}\to {\mathrm{ℝ}}^n$ [6].

Множество сигналов, являющихся интегрируемыми по Лебегу и ограниченных с квадратом функциями

(1) ${||f||}^2={\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\text{'}\left(t\right)f\left(t\right)dt\right]}^{1/2}<\infty ,$

образуют пространство Лебега $L_2\left(-\infty ,+\infty \right)$.

Это пространство является пространством Гильберта c внутренним произведением

(2) $<f,g>={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\text{'}\left(t\right)f\left(t\right)dt,$

где (1) есть 2-норма, индуцированная скалярным произведением (2).

Часто в приложениях величина ${||f\left(t\right)||}_2^2$ пропорциональна мощности сигнала, поэтому $L_2\left(-\infty ,+\infty \right)$ – пространство сигналов ограниченной энергии.

Подпространство $L_2[0,\infty ) \subset L_2(-\infty ,+\infty )$ состоит из сигналов, которые равны нулю при t < 0.

В частотной области сигнал $f\left(j\omega \right)$ задается как измеримая функция: $\omega \in \mathrm{ℝ}\to {\mathrm{ℂ}}^n$. Ее 2-норма

${||f||}_2=[\frac{1}{2\mathrm{\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\text{'}(g\omega \left)f\right(gw)dt{]}^{1/2}<\infty ,$

и L2 представляет собой пространство Лебега, состоящее из всех сигналов $f\left(j\omega \right)$с конечной 2-нормой.

Это пространство Гильберта со скалярным произведением

$<f,g>=\frac{1}{2\mathrm{\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\text{'}\left(j\omega \right)g\left(j\omega \right)d\omega .$

Последнее вводимое пространство, описывающее сигналы с конечной энергией, является пространство1 Н2: оно определяется как пространство функций комплексного переменного $f\left(s\right)$, которые являются аналитическими в ${\mathrm{ℂ}}_{+}$ и имеют ограниченную норму

${||f||}_2={\left[\underset{\alpha >0}{\sup } {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\text{'}(\alpha +j\omega )f(\alpha +j\omega )dt\right]}^{1/2}<\infty .$

Для того, чтобы связать сигналы, заданные во временной и частотных областях, определим операторы Фурье и Лапласа.

Преобразование Фурье является Гильбертовым изоморфизмом между пространствами $L_2\left(-\infty ,+\infty \right)$ и L2, сохраняет внутреннее произведение и 2-норму2.

Для функции $f\in L_2(-\infty ,+\infty )$ преобразование Фурье задается так

(3) $F\left[f\right(t\left)\right]=\underset{t\to \infty }{\lim }{\int }_{-T}^{T}f\left(t\right)e^{-j\omega t}dt.$

Здесь lim означает сходимость по норме L2. Существует тождество Парсеваля [6, 17]

$<f, j>=<F\left(f\right),F\left(g\right)>,$

следствием которого является сохранение нормы ${||f||}_2^{}={||F\left[f\right]||}_2.$

Это говорит о том, что «энергия» сигнала во временной области не изменяется при применении преобразования Фурье.

Преобразование Лапласа для $f\in L_2(-\infty ,+\infty )$ определяется как

(4) $L\left[f\right(t\left)\right]={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(t\right)e^{-st}dt.$

Теорема Пали-Винера доказывает, что пространство H2 изоморфно пространству L2[0,∞) при применении преобразования Лапласа [6]. Поэтому в дальнейшем не будет делаться различия между величинами во временной области и их изображениями, полученными посредством преобразований Фурье или Лапласа в частотной области. Из контекста должно быть ясно, в какой области представляются сигналы или системы.

2.4. Линейные системы

Под системой понимается преобразование G из одного пространства сигналов, входного пространства Si, в другое пространство сигналов, выходное пространство So [6]

$G: S_i\to S_0,$

т.е.

$w\to z=Gw, w\in S_i, z\in S_0.$

Линейные системы образуют линейное пространство относительно сложения (параллельное соединение) и умножения на скаляр:

$(G_1+G_2)w=G_{1}w+G_{2}w,$

$\left(\alpha G\right)w=\alpha \left(Gw\right).$

Любая линейная система может быть представлена интегральным оператором вида

$z\left(t\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }G(t,\tau )w\left(\tau \right)d\tau .$

Система является каузальной (от англ. causal: причинный), когда $G(t,\tau )=0$ для всех τ > t и инвариантна во времени (стационарна), если $G(t,\tau )=G(t-\tau ,0)$ для всех t,τ.

Таким образом, линейная стационарная система может быть представлена интегралом свертки

$z\left(t\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }G(t-\tau )w\left(\tau \right)d\tau .$

Матричная функция G(t) является матричной импульсной характеристикой – матрицей, элемент (i,k) которой есть функция gik(t) – отклик i-го выхода системы в момент времени t на Δ-функцию, поданную на k–й вход в момент t=0 [14].

Применяя к G(t) преобразование Лапласа, можно получить связь входного и выходного сигналов системы в области комплексного переменного

z(s) = G(s)w(s),

где

$G\left(s\right)={\int }_{-\infty }^{\infty }G\left(t\right)e^{-st}dt.$

Функция G(s) известна как матричная передаточная функция системы [27].

Предположим, что матричная передаточная функция G(s) является аналитической в ${\mathrm{ℂ}}_{+}$ и удовлетворяет условию:

(5) $G_s=\underset{\mathrm{Re}\left(s\right)>0}{\mathrm{sub} }\overline{\sigma }\left[G\right(s\left)\right]=\underset{\alpha >0}{\mathrm{sub} }\left\{\underset{\omega }{\mathrm{sub}} \overline{\sigma }\left[G\right(\alpha +i\omega \left)\right]\right\}=\underset{\omega \in \mathrm{ℝ}}{\mathrm{sub} }\overline{\sigma }\left[G\right(i\omega \left)\right]<\infty .$ 

Здесь применена теорема о максимуме модуля функции комплексного переменного, обобщенная на матричные передаточные функции с использованием понятия максимального сингулярного числа. Тогда вводится пространство Харди H∞, состоящее из множества передаточных функций G(s) с H∞-нормой (5), которая представляет собой частотный пик максимального сингулярного числа матричной передаточной функции на множестве действительных чисел $\omega \in \mathrm{ℝ}$.

Это – пространство Банаха [25, 26], и если G ∈ H∞, то G: H2 → H2, а норма (5) совпадает с индуцированной нормой

${||G||}_{\infty }=\underset{{||\mathrm{u}||}_2=1}{\mathrm{sub}}{||Cu||}_2.$

Пространство RH∞ комплексно-значных правильных матричных передаточных функций, все элементы которых – вещественные дробно-рациональные реализуемые функции с устойчивыми знаменателями, является подпространством в Н∞: RH∞ ⊂ H∞.

Во временной области система G описывается уравнениями в пространстве состояний

(6)  $$\begin{gathered} \stackrel{.}{x}=Ax+Bu, x\left(t_0\right)=x_0, \\ y=Cx+Du. \end{gathered}$$

Здесь $x \in {\mathrm{ℝ}}^n$ называется вектором состояния, x(t0) – начальным состоянием системы, $u\in {\mathrm{ℝ}}^m$ – входом системы, $y\in {\mathrm{ℝ}}^p$ – выходом системы. Матрицы A, B, C и D имеют соответствующую размерность и являются матрицами с постоянными коэффициентами.

Интегрирование системы (6) приводит к следующему решению при $t_0=0$

(7) $$\begin{gathered} x\left(t\right)=e^{At}{x}_0+{\int }_0^t{e}^{A(t-\tau )}Bu\left(\tau \right), \\ y\left(t\right)=C{e}^{At}{x}_0+{\int }_0^{t}C{e}^{A(t-\tau )}Bu\left(\tau \right)+Du\left(\tau \right), \end{gathered}$$

где матричная экспонента имеет вид сходящегося ряда

$e^{At} =I+\sum _{k=1}^{\infty }\frac{(At{)}^k}{k!}$

Система асимптотически устойчива, если собственные значения матрицы A ${\lambda }_i\left(A\right)\in {\mathrm{ℂ}}_{-}, i=1,2,...,n.$

Система (или пара (A,B)) управляема, если для любых состояний (x0, x1) и любых моментов времени (t0, t1) при t0 < t1 существует входное воздействие u(t), переводящее систему из состояния x0 в состояние x1 в момент t1. Система (или пара (A,B)) стабилизируема, если каждая неустойчивая мода управляема.

Система (или пара (A,C)) наблюдаема, если для любого момента времени t1>t0 начальное состояние $x\left(t_0\right)=x_0$ может быть определено по временной истории входа u(t) и выхода y(t) на интервале времени [t0,t1]. Система (или пара (A,C)) детектируема, если каждая неустойчивая мода наблюдаема.

Критерий управляемости: ранг матрицы управляемости

$U=[B AB ... A^{n-1}B]$

равен n.

Критерий наблюдаемости: ранг матрицы наблюдаемости

$V=\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right]$

равен n.

Набор матриц (A,B,C,D) называется реализацией передаточной функции G в пространстве состояний, а размер матрицы A является порядком реализации. При этом используется запись

$G\left(s\right)=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]$

Говорят, что реализация (A,B,C,D) системы G(s) является минимальной реализацией, если матрица A имеет наименьшую размерность, т. е. система имеет наименьшее число состояний. Эта наименьшая размерность называется степенью МакМиллана. Мода является скрытой, если она неуправляема или ненаблюдаема, и поэтому не проявляется в минимальной реализации.

Т.к. только управляемые и наблюдаемые состояния вносят вклад во входо-выходное поведение системы, то реализация является минимальной, если и только если пара (A,B) управляема, а пара (A,C) наблюдаема. Система с нестабилизируемыми или недетектируемыми модами называется системой, содержащей скрытые неустойчивые моды. На практике целесообразно избегать таких систем.

В области преобразования Лапласа уравнения (6) принимают вид

$$\begin{gathered} x\left(s\right)=(sI-A{)}^{-1}{x}_0+(sI-A{)}^{-1}Bu\left(s\right), \\ y\left(s\right)=C(sI-A{)}^{-1}{x}_0+[C(sI-A{)}^{-1}B+D]u\left(s\right), \end{gathered}$$

а комплексная матричная передаточная функция системы по входному воздействию имеет выражение

(8) $G\left(s\right)=C(Si-A{)}^{-1}B+D=\frac{Cadj(Si-A)B}{\det (sI-A)}+D=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right],$

Из (8) следует, что $\underset{s\to \infty }{\lim }G\left(s\right)=D,$ и если матрица D ≠ 0, то передаточная функция G(s) называется правильной, если D = 0 – строго правильной.

Полюса системы совпадают с собственными значениями матрицы $A$ и определяются из характеристического уравнения

$\det (Si-A)=\prod _{i=1}^n{\lambda }_i(sI-A)=\prod _{i=1}^n(s-{\lambda }_i(A\left)\right)=0.$

Для матричных передаточных функций помимо понятия полюсов существует понятие многомерных нулей в отличие от нулей скалярных компонент матричных передаточных функций [13]. Такие нули системы появляются, когда выход равен нулю даже когда входы (и состояния) не равны нулю. Для скалярных систем с одним входом и одним выходом нулями zi являются решения уравнения G(zi) = 0. В общем случае нулями являются величины s, при которых передаточная матрица G(s) теряет ранг. Для скалярных систем ранг изменяется от 1 до 0.

Определение. Величина zi является нулем G(s), если ранг G(zi) меньше, чем нормальный ранг G(s).

Полином для нулей определяется как

$z\left(s\right)=\prod _{i=1}^{n_z}(s-z_i),$

где nz ‒ число конечных нулей G(s).

Нормальный ранг G(s) определяется как ранг G(s) при всех величинах s за исключением конечного числа особых точек, которые являются нулями.

Это определение нулей основано на матричной передаточной функции, соответствующей минимальной реализации системы. Обычно нули вычисляются из описания системы в пространстве состояний. Уравнения в пространстве состояний системы могут быть записаны в виде

$P\left(s\right)\left[\begin{array}{c}z\\ u\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ y\end{array}\right], P\left(s\right)=\left[\begin{array}{cc}Si-A& –B\\ C& D\end{array}\right].$

Нули являются величинами $s=z$, для которых полиномиальная матрица системы P(s) теряет ранг, что приводит к нулевому выходу для некоторого ненулевого входа.

Численно нули находятся как нетривиальные решения при uz ≠ 0 и xz ≠ 0 в следующей задаче:

$(z{I}_g-M)\left[\begin{array}{c}{x}_z\\ u_z\end{array}\right]=0, M=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right], I_g=\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& 0\end{array}\right].$

Эта система решается как обобщенная задача на собственные значения. В стандартной задаче на собственные значения Ig = I. Обычно получаются дополнительные нули, если реализация не является минимальной.

Передаточная функция G(s) не изменяется при невырожденном преобразовании координат в изображениях по Лапласу в пространстве состояний.

Действительно, пусть $\overline{x}=T^{-1}x$, тогда матрицы системы в новом базисе будут иметь вид $\overline{A}=T-1AT, \overline{B}=T-1B, \overline{C}=CT, \overline{D}=D$ что даст

$\overline{C}\left(sI-\overline{A}\right)\overline{B}+\overline{D}=CT(s{T}^{-1}T-T^{-1}AT{)}^{-1}{T}^{-1}B+D=G\left(s\right).$

Поэтому реализация любой передаточной матрицы не единственна относительно любого невырожденного преобразования, включая и минимальную реализацию.

В [28] показывается, что всегда существует невырожденное преобразование координат, $x_K=T_K^{-1}x, \det T\ne 0$, которое приводит к реализации вида

$\left[\begin{array}{ccc}{A}_K& |& B_K\\ -& +& -\\ C_K& |& D_K\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{A}_{K,11}& 0& A_{K,13}& 0& |& B_{K,1}\\ A_{K,21}& A_{K,22}& A_{K,23}& A_{K,24}& |& B_{K,2}\\ 0& 0& A_{K,33}& 0& |& 0\\ 0& 0& A_{K,43}& A_{K,44}& |& 0\\ -& -& -& -& +& -\\ C_{K,1}& 0& C_{K,3}& 0& |& D_K\end{array}\right]$

Она называется канонической формой Калмана системы G. В данном базисе система декомпозируется на четыре подсистемы:

Управляемая и наблюдаемая система $(A_{K,11}, B_{K,1}, C_{K,1}, D_K)$;

Управляемая, но не наблюдаемая система $(A_{K,22}, B_{K,2}, 0, D_K)$; 

Неуправляемая, но наблюдаемая система $(A_{K,33}, 0, C_{K,3}, D_K)$;

Неуправляемая и ненаблюдаемая система $(A_{K,44}, 0, 0, D_K)$.

Если присутствует только один блок $A_{K,11}$, то реализация системы является минимальной. Размерность матрицы $A_{K,11}$ есть степень МакМиллана передаточной функции G.

---