Interprétation géométrique d’une équation différentielle du premier ordre sous forme normale
Considérons une équation sous forme normale:
y’=f(Х,У) (1)
où / est définie sur un ouvert Ω de R2.
Soit (1) Г le graphe d’une fonction y = ϕ(x) définie sur un intervalle ouvert I. Pour que ce soit (2) un arc intégral de l’équation (1), il faut et il suffit qu’il soit (3) contenu dans Ω et qu’il possède, en tout point m = (x, y) une tangente δ de pente p = f(m).
On dit que le couple (m, δ) est un élément de contact de l’arc Г.
D’une façon générale, on appelle élément de contact (dans R2) tout couple (m, δ) formé d’un point m de R2 et d’une droite δ passant par m. Ce point est le support de l’élément de contact.
Etant donné un domaine quelconque Ω de R2 un champ d’éléments de contact de support Ω est un ensemble C d’éléments de contact tel que tout point m de Ω soit (4) le support d’un élément de C et d’un seul.
Revenons alors à l’équation (1). Si l’on associe à chaque point m de Ω la droite δ de pente p = f(m) qui passe par m, on obtient un champ C d’éléments de contact. Réciproquement, si C est un champ d’éléments de contact ayant pour support un ouvert Ω, et tel que la pente p = f(m) de chacune de ses droites soit (4) finie, on peut considérer qu’il est défini par l’équation différentielle y’ = f(x, y).
D’après ce que nous avons observé plus haut, le graphe Г d’une fonction y = ϕ (x) définie sur un intervalle ouvert I est un arc intégral de l’équation (1) si et seulement s’il possède une tangente de pente finie en chaque point et si tous ses éléments de contact appartiennent au champ C associé à l’équation (1).
Cette interprétation du problème de l’intégration de l’équation (1) lui (6) confère un aspect géométrique qui est souvent utile, soit (5) pour trouver des solutions, soit pour découvrir des propriétés intéressantes des intégrales de l’équation envisagée.
Vocabulaire:
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courbe (f) |
кривая |
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plan, -e |
плоский |
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interprétation (f) |
интерпретация |
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géométrie (f) |
геометрия |
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sous forme normale |
в нормальной форме |
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considérer qch. |
рассматривать ч-л. |
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ouvert, -e |
открытый, -ая |
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ouvert (m) |
открытое множество |
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graphe (m) |
1) график 2) граф |
|
pour que |
для того, чтобы |
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arc (m) |
дуга, путь (в топологии) |
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il faut et il suffit |
необходимо и достаточно |
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être contenu dans qch |
содержаться в ч.-л. |
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posséder qch. |
обладать чем-л. |
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point (m) |
точка |
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tangente (f) |
1) касательная 2) тангенс |
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pente (f) |
1) наклон, 2) наклонная плоскость |
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-d’une droite |
угловой коэффициент прямой |
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contact [kotakt] (m) |
1) контакт 2) касание |
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support (m) |
носитель, опора |
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étant donné qch - que |
1) если имеется...; при наличии...; 2) учитывая, что... |
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champ (m) |
поле |
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réciproquement |
взаимно, обратно |
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chacun, -е |
каждый, -ая (местоимение) |
|
d’après |
по ..., в соответствии с... |
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observer qch |
наблюдать, отмечать что-л. |
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intégral, -е |
интегральный |
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intégration (f) |
интегрирование |
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conférer qch à qch . |
придавать что-л |
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aspect [ asp s] (m) |
вид; аспект |
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utile, - |
полезный |
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découvrir qch |
открыть, обнаружить, выявить что-л. |
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intégrale (f) |
интеграл |
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envisagé, -e |
рассматриваемый |
Lecture de formules et de symboles:
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y′ |
у prime |
ϕ |
phi |
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Ω |
oméga |
(x,y) |
couple х у |
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δ |
delta |
Г |
gamma |
Des éléments de grammaire de texte:
Des articulateurs et des substituts:
a) considérons, soit, d’une façon générale, étant donné, alors, réciproquement, d’après ce que,
si et seulement si, soit ... soit;
b) où, qui (pronom), tel que, ce (point), tout, chacune, ses, il, tous, cette (interprétation), lui.
Structurer:
– considérons (que)..., revenons alors à..., d’après ce que nous avons observé plus haut; cette interprétation du problème...
– N.B.Relevez les informations de même nature, regroupez – les dans des rubriques et introduisez des articulateurs et des substituts à votre choix. (Выделите одноплановую информацию, объедините ее в рубрики и введите артикуляторы и субституты по Вашему выбору).
Révision de la grammaire de base:
Le Subjonctif Présent du verbe “être”:
1) пусть дано ... ,
2) для того, чтобы было ... ,
3) необходимо и достаточно, чтобы он содержался ... ,
4) так (такой), чтобы всякая точка ... была опорой элемента касания; такой, чтобы угловой коэффициент каждой из этих прямых был конечным.
5) либо ... , либо ... .37
6) Местоимение – косвенное дополнение.38