Французский язык для математиков

Texte 1. Applications des dérivées

Interprétation géométrique. Soit la fonction y = f (x) définie et dérivable dans l’intervalle (a, b). Soit C son graphe par rapport à deux axes de coordonnées Ox et Oy rectangulaires ou obliques. Soit x0 une valeur fixe et x une valeur variable de (a, b), M0 et M les deux points distincts de C d’abscisses x0 et x. La droite M0M a pour coefficient directeur

Fig. 1

Si on fait tendre x vers x0, M tend vers M0 sur C, le rapport tend par hypothèse vers la dérivée y0 de la fonction pour x0. La droite M0M, qui pivote autour de M0, tend donc vers une position limite M0T dont le coefficient directeur est y0 .

Par définition M0T est la tangente à C en M0.

Théorème. Soit une fonction définie et dérivable dans l’intervalle (a, b) ; en tout point de son graphe, elle admet une tangente dont le coefficient de direction est la valeur de la dérivée en ce point.

Remarques.

1° Si y0 = 0 la tangente en M0 est parallèle à Ox.

2° Si → ∞ (ou – ∞) lorsque x x0 par valeurs supérieures et inférieures, la courbe admet au point M0 une tangente parallèle à Oy.

Nous admettons sans démonstration que:

Théorème. Soit une fonction dérivable sur l’intervalle (a, b) ouvert ou fermé.

1° Si la dérivée est nulle x (a, b), la fonction est constante.

2° Si la dérivée est positive x (a, b), la fonction est croissante.

3° Si la dérivée est négative x (a, b), la fonction est décroissante.

Application. Pour étudier le sens de variation d’une fonction dérivable y = f (x) on calcule la fonction dérivée. L’étude de son signe permet de décomposer l’intervalle (a, b) en intervalles partiels. Dans chacun de ceux-ci la dérivée a un signe constant, et on applique le théorème précédent.

Vocabulaire:

en vrac

зд. в разбивку

application (f)

1) применение,

2) отображение

dérivé, -e

производный

dérivable, -e

дифференцируемый, –ая

axe (m)

ось

coordonnées (f. pl)

координаты

rectangulaire, -

прямоугольный

oblique, -

наклонный, косой

valeur (f)

величина; значение

tendre vers qch

стремиться к ч.-л.

pivoter autour

вращаться,

de qch

поворачиваться вокруг чего-л.

tangente (f)

касательная

croissant, -e.

возрастающий

décroissant, -e

убывающий

sens [sas]

направление

calculer qch

подсчитать что-л.

signe (m)

знак

décomposer qch

разложить что-л.

partiel, -le [p α rsjεl]

частичный