Французский язык для математиков

Nombres complexes

Ces nombres ont été inventés au XVIe siècle, par les Italiens Jérôme Cardan et Rafaello Bombelli notamment, afin de résoudre des équations n’ayant pas de solutions (1) dans les nombres réels, telles que x2 + 1 = 0 ou x4 + 2 = 0.

L’idée est d’introduire un symbole i (pour désigner l’unité imaginaire) vérifiant i2 =1 (c’est-à-dire que formellement, on peut écrire i = ; la notation i a été introduite en 1777 par Euler). Сe symbole “résout” donc l’équation auparavant impossible x2 + 1 = 0. On étend alors la notion de nombre en considérant toutes les combinaisons de la forme a + ib, où a et b sont des nombres réels. L’ensemble de сes nombres, appelés complexes, est noté C. Il inclut les nombres réels (cas où b = 0). Les nombres complexes dont la partie réelle a est nulle (comme le nombre 2i) sont dits imaginaires.

L’intérêt des nombres complexes est immense. Avec eux, notamment, tout polynôme P(x) que ses coefficients soient (2) réels ou complexes possède au moins une racine complexe (c’est-à-dire un nombre x0 tel que P(x0) = 0). Les nombres complexes permettent de simplifier considérablement les calculs de circuits électriques où le courant est alternatif (un tel courant peut s’écrire A cos (cot), qui est la partie réelle de A eiwt), rentrent dans la formulation des principes de la mécanique quantique, etc. Plus utile encore est l’analyse complexe, c’est-à-dire l’étude des fonctions f(z) dont la variable z peut prendre des valeurs complexes. L’analyse complexe fait apparaître des propriétés tout à fait remarquables et permet de calculer des intégrales, s’applique à l’aérodynamique ou à la mécanique des fluides, à l’étude des nombres premiers, etc.

Entiers de Gauss

Il s’agit des nombres complexes de la forme a + bi, où a et b sont des nombres entiers. Ils possèdent des propriétés arithmétiques assez analogues à celles des nombres entiers (divisibilité, décomposition en facteurs “premiers”, etc.)

Nombres algébriques

On appelle ainsi les nombres qui sont la racine d’un polynôme dont les coefficients sont entiers (ou, ce qui revient au même, rationnels). Par exemple, est un nombre réel algébrique, puisqu’il est solution de l’équation à coefficients entiers x2 3 = 0. De même, 1 + i, qui est solution de x2 2x + 2 = 0, est un nombre complexe algébrique.

Nombres transcendants

Les nombres qui ne sont pas algébriques sont dits transcendants. Autrement dit, il n’existe aucun polynôme à coefficients entiers dont ils sont la racine. Ainsi, le nombre p est transcendant, comme l’a démontré en 1882 le mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann. Les nombres transcendants sont infiniment plus nombreux que les nombres algébriques.

Quaternions

Ces nombres, appelés aussi hypercomplexes, ont été inventés en 1843 par l’Irlandais William Rowan Hamilton, qui cherchait une généralisation des nombres complexes. Ils sont de la forme a + bi + cj + dk, où a, b, c, d sont des nombres réels et où i, j, k sont des symboles vérifiant

i2 = j2 = k2 =1, ij =ji = k, jk =kj = i et ki =ik = j.

L’algèbre vérifiée par les quaternions est apparue de façon naturelle dans l’étude de certaines autres structures mathématiques (certains “groupes”), à la fin du XIXe siècle. En particulier, cette algèbre est tout à fait analogue à celle utilisée en physique quantique pour décrire une particule de spin 1/2.

Nombres transfinis

Il s’agit de la généralisation de la notion de nombre aux ensembles infinis.

Les cardinaux transfinis sont une mesure du nombre d’éléments que comporte un ensemble infini; de même, les ordinaux transfinis généralisent la notion d’ordre aux ensembles infinis. On dit que deux ensembles ont même cardinal s’il existe une correspondance bi-univoque entre leurs éléments. Par exemple, l’ensemble N des entiers positifs est de même cardinal que l’ensemble des entiers positifs pairs. Le cardinal de N est désigné par 0, (aleph) étant (3) la première lettre de l’alphabet hébreu. Ce premier cardinal transfini est aussi celui de l’ensemble Q des nombres rationnels, ainsi que celui de l’ensemble des nombres algébriques. Tout ensemble ayant même cardinal que N est dit dénombrable. En revanche, l’ensemble des nombres irrationnels est d’un cardinal supérieur à 0: ces nombres sont infiniment plus “nombreux” que les entiers ou les rationnels.

Vocabulaire:

zoologie (f)

зоология

complexe, -

комплексный

inventer qch

изобретать, придумывать ч.-л.

notamment

1) в частности

2) именно

afin de faire qch.

с тем, чтобы сделать что-л.

résoudre qch

решить

équation [ekwasiõ] (f)

уравнение

ayant

имеющий

solution (f)

решение

introduire qch

ввести что-л.

imaginaire

мнимый

vérifier qch

проверять что-л., зд. удовлетворять чему-л

formellement

формально

notation (f)

обозначение

auparavant

ранее, прежде, до этого

étendre qch

расширять

combinaison (f)

комбинация; сочетание

cas (m)

случай

intérêt (m)

выгода; удобство

immense

огромный

polynôme (m)

многочлен, полином

coefficient (m)

коэффициент

au moins

по крайней мере

racine (f)

корень

permettre de f. qch.

позволять делать что-л.

simplifier qch

1) упрощать

2) сокращать

considérablement

значительно

calcul (m)

вычисление

circuit (m)

1) цепь

2) контур

courant (m)

1) ток

2) поток

alternatif, -ve

переменный

rentrer

входить

formulation (f)

формулировка, формулирование

mécanique (f)

механика

quantique

квантовый

utile

полезный

variable (f)

переменная

valeur (f)

1) ценность;

2) значение

prendre une (des) ~ (s)

принимать значение, -я

apparaître

появляться

faire ~

выявлять («заставить проявиться»)

tout à fait

совсем, совершенно

remarquable

замечательный

calculer

вычислять

s’appliquer à qch

применяться

aérodynamique (f)

аэродинамика

fluide (m)

жидкость

analogue à qch

аналогичный чему-л.

divisibilité (f)

делимость

décomposition (f)

разложение, декомпозиция

facteur (m)

1) фактор

2) зд. множитель, коэффициент

algébrique, -

алгебраический

ce qui revient au même

что одно и то же

puisque

поскольку

de même

так же

transcendant, -e

трансцендентный

autrement dit

иначе говоря

aucun, -e

никакой

démontrer qch

доказать

allemand, -e

немецкий

nombreux, -se

многочисленный

quaternions [kwatεrnjõ] (m)

кватернион

irlandais, -e

ирландский

généralisation (f)

обобщение

chercher une ~

стремиться обобщить

en particulier

в частности

utiliser qch.

использовать, применять что-л.

particule (f)

частица

spin [spin] (m)

спин

transfini, -e

трансфинитный

cardinal (m)

мощность, кардинальное число, кардинал

mesure (f)

1) мера

2) измерение

ordinal (m)

порядковое число, ординальное число, ординал

correspondance (f)

соответствие

bi -univoque

взаимно однозначный

pair, -е

четный

(aleph)

алеф (первая буква алфавита иврит)

alphabet, m

алфавит

hébreu

1) древнееврейский

2) иврит

dénombrable

счетный

en revanche

зато

Lecture de formules et de symboles:

+

plus

x0

x zéro, x indice zéro

f(z)

fonction de z

COS X

cosinus de x

Des éléments de grammaire de texte:

Des articulateurs et des substituts:

a) c’est-à-dire, donc, alors, notamment, au moins, ainsi (que), ce qui revient au même, par exemple, de même, autrement dit, en particulier, aussi, en revanche;

b) ces (nombres), ce (symbole), cette (algèbre), celle(s), telles que..., ses, tel, dont, (avec) eux, qui, celui..., que (pronom), ce premier, leurs.

Objectiver:

– L’idée est d’(e)...

– неодушевленное подлежащее + “активный” глагол + дополнение.

Exemple. Les ordinaux transfinis généralisent la notion de l’ordre aux ensembles infinis. Ce symbole “résout” l’équation auparavant impossible.

Définir et expliquer:

– определенный артикль + существительное (+ определение) + относительное местоимение + придаточное предложение или определение + sont dits (est dit) + определение.

Exemple: Les nombres complexes dont la partie réelle a est nulle sont dits imaginaires. Les nombres qui ne sont pas algébriques sont dits transcendants.

Reformuler:

– appelé(s) aussi ; c’est-à-dire ; ou ce qui revient au même.

Révision de la grammaire de base:

(1) Предлог de в отрицании.19

(2) “Que....soient” – Subjonctif présent (Будь то...).20

(3) Абсолютное причастие (Participe Présent absolu). Переводится придаточным причины, времени или присоединительным: «...поскольку алеф – первая буква в алфавите иврита».21


19 См. B.P. стр. 58 и. 3; П. и др. стр. 138 п.1; П.Ю.Ш. стр. 220.

20 См. В.Р. стр. 192–197; П.Ю.Ш. стр. 176–178, 198 п.2

21 См. И.Н. Попова, Ж.А. Казакова. Грамматика французского языка. М: ВШ, 1989 стр. 313–314. Nestor, 1997, стр. 346, 351 (в последующих сносках – П.К.)