Soient / une fonction définie sur un intervalle ouvert I et x0 un point de I. La fonction f est dérivable en x0, si le rapport 
a une limite à gauche finie et une limite à droite finie en x0 et si çes deux limites sont égales. Cette limite commune est le nombre dérivé de f en x0, noté f ′ (x0):
La fonction f est dérivable (1) à droite en x0 (resp. dérivable (1) à gauche en x0) si le rapport r(x) a une limite à droite finie (resp. à gauche) en x0. Ce nombre dérivé à droite (resp. à gauche) est noté fd(x0) (resp. fg(x0)).
◊ Si une fonction est dérivable (1) en x0, alors elle est dérivable (1) à gauche et à droite en x0.
◊ Attention, une fonction peut être dérivable (1) à gauche et à droite en x0 sans être dérivable (1) en x0.
◊ Si une fonction est dérivable en x0, alors elle est continue en x0.
◊ On peut étendre de manière évidente la notion de dérivée à droite dans le cas de la borne a d’un intervalle [a, b [et de même la notion de dérivée à gauche en b dans le cas d’un intervalle]a, b].
♦ La fonction [x → x2 –2x + 
] est dérivable en 1 de nombre dérivé 0.
♦ La fonction f définie sur R par ( f |[ – ∞, 1]) (x) = 2 et ( f |[1, + ∞]) (x) = 1 est dérivable (1) à gauche en 1 mais pas à droite.
♦ La fonction g définie sur R+ par ( g | R+*)(x) = x sin(1/x) 2 et g(0) = 0 est continue en 0, mais n’est pas dérivable (1) à droite en 0.
♦ La fonction h: x → |x| est dérivable (1) à gauche et à droite en 0, mais n’est pas dérivable en 0.
Si f est dérivable (1) sur I, c’est-à-dire en tout point de I, la fonction dérivée, notée f, est l’application qui fait correspondre à tout élément x de I le nombre dérivé de f en x.
♦ La fonction dérivée de la fonction sin est la fonction cos.
Vocabulaire:
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dérivation (f) |
дифференцирование (нахождение производной) |
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dérivable |
дифференцируемый |
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limite (f) |
предел |
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– à gauche, – à droite |
слева, справа |
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commun, -e |
общий |
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dérivé, -e |
производный |
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nombre dérivé en x0 |
производная в (точке) xо |
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noté, -e |
обозначенный |
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resp. (respectivement) |
соответственно |
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continu, -e |
непрерывный |
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étendre qch. |
распространить |
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évident, -e |
очевидный |
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cas (m) |
случай |
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borne (f) |
граница, грань |
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de même |
точно также |
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c’est-à-dire |
то есть |
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application (f) |
1) применение, 2) отображение |
Lecture de formules et de symboles:
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f ′(x0) |
nombre dérivé de f en x0 |
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[ a,b[ |
intervalle a b semi-ouvert à droite |
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f ′ |
fonction dérivée |
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∞ |
infini |
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h : x |→ |x| |
h fait correspondre à x le module de x |
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lim < x → xо |
limite à gauche en xо |
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lim > x → xо |
limite à droite en xо |
|
| x | |
module de x |
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sin |
sinus |
|
cos |
cosinus |
|
/ |
barre de division |
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a/b |
a sur b |
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x |→ x2 – 2x + |
x est transformé en x carré moins deux x plus racine carrée de deux |
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] a,b] |
intervalle semi-ouvert à gauche |
Des éléments de grammaire de texte:
Des articulateurs et des substituts:
a) soient, alors, attention, de même, si... et si, si... alors, mais;
b) ces (deux limites), cette (limite), ce (nombre), qui (pronom).
Structurer:
– Attention aux symboles graphiques du texte écrit (=>, ♦), regroupant l’information de même nature. (Обратите внимание на графические символы письменного текста, объединяющие однотипную информацию).
– N.В. Dans le discours oral ces symboles seront remplacés par des articulateurs: quant à... (si on définit..., si on parle de...), on note premièrement, deuxièmement (tout d’abord, ensuite, à la fin). (В устном тексте вместо символов будут использоваться артикуляторы...).
Révision de la grammaire de base:
(1) Суффикс -able, (“dérivable”) (или – ible: “divisible”) обозначает подверженность действию, на русский язык может быть переведен либо страдательным причастием: «дифференцируемый», либо придаточным: «который можно дифференцировать (поддается дифференцированию)».