Localement, l’image d’une application générique d’une surface fixée fermée M dans R3 est soit une feuille lisse, soit une intersection transverse de deux ou trois feuilles lisses, soit un parapluie de Whitney. Les applications dont les images sont plus compliquées forment une hypersurface discriminante ∆ dans l’espace Ω de dimension infinie de toutes les applications C∞ de M dans R3.
Le discriminant coupe Ω en plusieurs composantes connexes. Un invariant numérique est une fonction localement constante sur Ω\∆. Le long d’un chemin générique de Ω, nous regardons les sauts d’un invariant au passage du discriminant. Nous disons que notre invariant est local si chaque saut est complètement défini par le type de difféomorphisme d’une perestroika locale de l’image au passage du discriminant.
Soit Im f l’image d’une application générique f : M → R3 d’une surface orientée. Prenons un point u dans R3\ Im f. Considérons une 2-sphère petite, avec l’orientation extérieure, centrée en u. La contraction radiale de l’image sur la sphère définit une application composée de M sur la sphère. Soit deg(u) le degré de cette application.
R3\ Im f a un nombre fini de composantes connexes D. deg(u) est constant sur chacune d’elles. Nous noterons la valeur correspondante par deg(D).
Nous introduisons l’intégrale de la fonction deg par rapport à la caractéristique d’Euler χ.
∫R3\ Im f deg(u) dχ(u) = ∑ deg(D) z(D)χ(D)
où la somme est prise sur toutes les composantes connexes de R3\ Im f.
Il y a 8 (resp. 3) composantes connexes locales du complémentaire de l’image au voisinage d’un point triple t (resp. d’un point de type parapluie p) Nous définissons les degrés deg(t) et deg(p) comme les moyennes arithmétiques des 8 ou 3 degrés correspondants.
On pose
I ∫ (f) = ∫R3\ Im f deg(u) dχ(u) – ∑tdeg(t) – 0,5∑pdeg(p)
où la somme est prise sur tous les points triples et le parapluie p de l’image.
Vocabulaire:
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image (f) |
1) образ 2) изображение |
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surface (f) |
поверхность |
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intersection (f) |
пересечение |
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transverse, - |
трансверсальный |
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dimension (f) |
размерность; измерение |
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couper qch |
1) разрезать что-л. 2) пересекать что-л. 3) разбивать что-л. |
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connexe, - |
связный |
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saut (m) |
скачок |
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contraction (f) |
свертка, сжатие, сокращение |
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degré (m) |
1) степень 2) градус |
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complémentaire (m) |
дополнение |
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voisinage (m) |
окрестность |
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triple, - |
тройной |